A proposta desta atividade, leitura de obras de artistas que escolheram as formas geométricas básicas como tema para seus trabalhos, será lançada a partir do texto “A Matemática e a Arte”, disponível em http://docs.google.com/Doc?id=dgpb36r8_1fmphz4hh e dos slides sobre Mauritis Cornélio Escher (1898-1970), artista que fundamentou suas obras em conceitos matemáticos, disponível em: http://www.scribd.com/doc/3928476/A-Matematica-e-a-Arte-de-Escher.
Os links a seguir possuem artigos e vídeos que direcionarão uma pesquisa sobre as obras do artista; que também será fundamentada no conceito de simetria e servirão de subsídios para a produção de telas nas aulas de Artes, baseadas nas obras de Esher.
· www.texas.net/escher ;
· www.cs.unc.edu/~davemc/Pic/Escher ;
· www.znet.com/~wchow/escher.htm;
· http://prof.ccems.pt/matematicaonline/Escher/browser.html ;
· http://mathematikos.psico.ufrgs.br/escher.html
Vídeos:
· http://videolog.uol.com.br/video.php?id=225532;
· http://videolog.uol.com.br/video.php?id=225535;·http://www.youtube.com/watch?v=VcLf7lKl9p4&eurl=http%3A%2F%2Fmatematicanacidadela%2Eblogspot%2Ecom%2F&feature=player_embedded .
sexta-feira, 19 de março de 2010
Tangram e Stomachion
Leia o texto abaixo e, a seguir, discuta-o com seus colegas.
Brinquedo de gente grande
Como se não bastasse ter sido o descobridor de leis da Física, inventor de engenhocas para facilitar a vida humana e um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Arquimedes (287-212 a.C.) agora é apontado como possível inventor de um dos mais antigos passatempos do mundo.
(...) uma equipe da Universidade de Stanford, liderada pelo historiador de Matemática Raviel Netz, chegou à conclusão que o grego deixou um trabalho sobre um passatempo da Antiguidade: o stomachion.
O trabalho descreve um quebra cabeça que consiste um quadrado fracionado em 14 partes; parecido com o tangram, o desafio chinês de 7 peças.
Os especialistas não compreendiam como um gênio como Arquimedes poderia ter perdido tempo com um trabalho sobre um brinquedo desses “para crianças”. Mas, analisando manuscritos e o passatempo, concluíram que o grego havia escrito um tratado para tentar solucionar o seguinte problema: de quantas maneiras as peças podem ser arranjadas para formar o quadrado? Depois de muitos cálculos e da ajuda de computadores, concluíram que a resposta é 17 152.
Na verdade, não se sabe se Arquimedes inventou o brinquedo nem sequer se chegou à resposta correta do número de arranjos possíveis para a formação do quadrado. Mas na opinião de Netz, o grego teria pelo menos proposto uma solução. É isso há 2.200 anos, sem ajuda das máquinas!
Analisando a o material elaborado por vocês, resolva os desafios e registre suas conclusões no Blog:
a) Que figuras geométricas você identifica nas peças do stomachion?
b) Que semelhanças e diferenças você observa entre o stomachion e o tangram?
c) Utilizando as 7 peças do tangram, monte um retângulo, um paralelogramo, um trapézio e um triângulo retângulo e em seguida, calcule a área de cada uma das figuras montadas. O que você observou em relação aos valores encontrados?
d) Agora, procure algumas das 17 152 soluções possíveis para o problema estudado por Arquimedes. Compare o valor da área do quadrado que você montou e área do quadrado da figura 2.
e) Observe bem as figuras formadas pelas peças 1 e 2 do tangram e as peças A, B, F, G, H, M e N do stomachion. Tente encontrar alguma relação entre as áreas ocupadas por cada uma delas. Relacione-as também com a área do quadrado inicial. Discuta com seus colegas suas descobertas.
f) Escolha duas peças do tangram e monte quatro figuras diferentes. O mesmo faça com peças do stomachion. Você consegue descobrir as áreas de cada uma delas? Se não conseguir, peça ajuda a um colega e ao seu professor.
· A partir das observações feitas, os alunos poderão descobrir que existem polígonos diferentes que possuem a mesma área; eles são chamados de polígonos equivalentes.
g) Utilize sua criatividade e todas as peças do Tangram do “Kit Virtual – Tangram”, disponível no endereço: http://www.lante.uff.br/moodle/moodle172/mod/resource/view.php?id=1833 para construir duas figuras diferentes, mas com a mesma área; ou seja, duas figuras equivalentes.
Brinquedo de gente grande
Como se não bastasse ter sido o descobridor de leis da Física, inventor de engenhocas para facilitar a vida humana e um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Arquimedes (287-212 a.C.) agora é apontado como possível inventor de um dos mais antigos passatempos do mundo.
(...) uma equipe da Universidade de Stanford, liderada pelo historiador de Matemática Raviel Netz, chegou à conclusão que o grego deixou um trabalho sobre um passatempo da Antiguidade: o stomachion.
O trabalho descreve um quebra cabeça que consiste um quadrado fracionado em 14 partes; parecido com o tangram, o desafio chinês de 7 peças.
Os especialistas não compreendiam como um gênio como Arquimedes poderia ter perdido tempo com um trabalho sobre um brinquedo desses “para crianças”. Mas, analisando manuscritos e o passatempo, concluíram que o grego havia escrito um tratado para tentar solucionar o seguinte problema: de quantas maneiras as peças podem ser arranjadas para formar o quadrado? Depois de muitos cálculos e da ajuda de computadores, concluíram que a resposta é 17 152.
Na verdade, não se sabe se Arquimedes inventou o brinquedo nem sequer se chegou à resposta correta do número de arranjos possíveis para a formação do quadrado. Mas na opinião de Netz, o grego teria pelo menos proposto uma solução. É isso há 2.200 anos, sem ajuda das máquinas!
Fonte: KWANO, Carmem. (2004) O quebra-cabeça de Arquimedes: pergaminhos revelam trabalho inédito do grego em análise combinatória. Galileu, n. 151, Rio de Janeiro: Globo.
Figura 1 - Stomachion
Procure discutir com seus colegas e professor, as questões abaixo:
- Você já teve oportunidade de manusear os quebra-cabeças indicados no texto?
- E sobre o tangram, você conhece a lenda que envolve este quebra-cabeça?
- Qual será o método usado por Arquimedes para conseguir o número de maneira que as peças do stomachion podem se arranjadas para formar um quadrado?
Próximos passos:
· Construa um stomachion e um tangram na malha quadriculada oferecida. É importante que você capriche na construção, pois faremos um estudo matemático das peças desses jogos. Pinte cada uma delas com uma cor diferente.
· Inicie as construções, a partir de um quadrado de 14 cm de lado e siga às dicas:
Analisando a o material elaborado por vocês, resolva os desafios e registre suas conclusões no Blog:a) Que figuras geométricas você identifica nas peças do stomachion?
b) Que semelhanças e diferenças você observa entre o stomachion e o tangram?
c) Utilizando as 7 peças do tangram, monte um retângulo, um paralelogramo, um trapézio e um triângulo retângulo e em seguida, calcule a área de cada uma das figuras montadas. O que você observou em relação aos valores encontrados?
d) Agora, procure algumas das 17 152 soluções possíveis para o problema estudado por Arquimedes. Compare o valor da área do quadrado que você montou e área do quadrado da figura 2.
e) Observe bem as figuras formadas pelas peças 1 e 2 do tangram e as peças A, B, F, G, H, M e N do stomachion. Tente encontrar alguma relação entre as áreas ocupadas por cada uma delas. Relacione-as também com a área do quadrado inicial. Discuta com seus colegas suas descobertas.
f) Escolha duas peças do tangram e monte quatro figuras diferentes. O mesmo faça com peças do stomachion. Você consegue descobrir as áreas de cada uma delas? Se não conseguir, peça ajuda a um colega e ao seu professor.
· A partir das observações feitas, os alunos poderão descobrir que existem polígonos diferentes que possuem a mesma área; eles são chamados de polígonos equivalentes.
g) Utilize sua criatividade e todas as peças do Tangram do “Kit Virtual – Tangram”, disponível no endereço: http://www.lante.uff.br/moodle/moodle172/mod/resource/view.php?id=1833 para construir duas figuras diferentes, mas com a mesma área; ou seja, duas figuras equivalentes.
quinta-feira, 23 de julho de 2009
Medida
Enriquecendo nossas descobertas.
Os sites a seguir, nortearão uma pesquisa que deverá enfatizar, as primeiras unidades de medida utilizadas pela humanidade, a necessidade de unificação dos padrões de medida e a importância da Revolução Francesa neste contexto.
www.marinha.pt/extra/revista/ra_abr1999/pag12.html
www.ipem.sp.gov.br/5mt/historia.asp?vpro=imperio
www.unilavras.edu.br/cursos/graduacao/matematica/artigos/origem-sistema-metrico.pdf
As discussões realizadas pelos integrantes dos grupos, para a sistematização do trabalho, devem estar registradas no blog. A avaliação da tarefa será feitar a partir dos comentários apresentados.
Os sites a seguir, nortearão uma pesquisa que deverá enfatizar, as primeiras unidades de medida utilizadas pela humanidade, a necessidade de unificação dos padrões de medida e a importância da Revolução Francesa neste contexto.
www.marinha.pt/extra/revista/ra_abr1999/pag12.html
www.ipem.sp.gov.br/5mt/historia.asp?vpro=imperio
www.unilavras.edu.br/cursos/graduacao/matematica/artigos/origem-sistema-metrico.pdf
As discussões realizadas pelos integrantes dos grupos, para a sistematização do trabalho, devem estar registradas no blog. A avaliação da tarefa será feitar a partir dos comentários apresentados.
Explorando Hexágonos
Explorando hexágonos regulares
À semelhança do triângulo equilátero e do quadrado, o hexágono regular é um polígono que tem a particularidade de fazer muito boas pavimentações. Aliás, o mesmo pode ser comprovado pelo texto do meu amigo José Filipe, no seu blog: http://maismat.blogspot.com/2008/08/reas-e-permetros-com-abelhas.html. De facto, a figura seguinte evidencia um excelente aproveitamento do espaço a pavimentar:
Numa situação de recreação matemática como distribuiria os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nesses sete hexágonos de modo a que a soma de quaisquer três hexágonos adjacentes em linha vertical ou linha oblíqua fosse sempre a mesma?
À semelhança do triângulo equilátero e do quadrado, o hexágono regular é um polígono que tem a particularidade de fazer muito boas pavimentações. Aliás, o mesmo pode ser comprovado pelo texto do meu amigo José Filipe, no seu blog: http://maismat.blogspot.com/2008/08/reas-e-permetros-com-abelhas.html. De facto, a figura seguinte evidencia um excelente aproveitamento do espaço a pavimentar:
Numa situação de recreação matemática como distribuiria os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nesses sete hexágonos de modo a que a soma de quaisquer três hexágonos adjacentes em linha vertical ou linha oblíqua fosse sempre a mesma?
OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA DAS ESCOLAS PÚBLICAS.
A OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA DAS ESCOLAS PÚBLICAS (OBMEP) é um projeto voltado para a Escola Pública, seus estudantes e professores, que vem criando um ambiente estimulante para o estudo da Matemática.Idealizada para ser um projeto de longa duração, a OBMEP se caracteriza por um conjunto de atividades que vão desde a aplicação e correção das provas até o Programa de Iniciação Científica realizado em diversas partes do país. Graças a essas atividades, está se formando, gradativamente, uma rede de capacitação de alunos e professores em muitas escolas públicas do país. Dentre essas atividades, destacam-se:
A produção de material didático que vem sendo amplamente utilizado em vários projetos;
Estágio dos Professores premiados, que permite a professores de todo o país o contato com material didático de excelência;
Programa de Iniciação Científica Jr. que envolve alunos premiados com bolsa do CNPq, e professores orientadores em pólos de atividades espalhados pelo país;
Encontros com alunos premiados e seus professores, visando promover a inovação e o aprimoramento acadêmico nas atividades das escolas participantes da OBMEP.
Em 2008 a OBMEP chega a sua quarta edição. Em 2007, a OBMEP contou com a participação de mais de 17 milhões de alunos de mais de 98% dos municípios brasileiros.
Conto com o empenho de vocês! Nossa Escola recebeu o prêmio menção honrosa nos anos anteriores!
Fique sabendo mais informações sobre as provas deste ano no site.
www.obmep.org.br
A produção de material didático que vem sendo amplamente utilizado em vários projetos;
Estágio dos Professores premiados, que permite a professores de todo o país o contato com material didático de excelência;
Programa de Iniciação Científica Jr. que envolve alunos premiados com bolsa do CNPq, e professores orientadores em pólos de atividades espalhados pelo país;
Encontros com alunos premiados e seus professores, visando promover a inovação e o aprimoramento acadêmico nas atividades das escolas participantes da OBMEP.
Em 2008 a OBMEP chega a sua quarta edição. Em 2007, a OBMEP contou com a participação de mais de 17 milhões de alunos de mais de 98% dos municípios brasileiros.
Conto com o empenho de vocês! Nossa Escola recebeu o prêmio menção honrosa nos anos anteriores!
Fique sabendo mais informações sobre as provas deste ano no site.
www.obmep.org.br
Manual do blog
Este blog vai ser um elemento indispensável nas aulas. Nele serão apresentados textos, vídeos, exercicios, desafios, trabalhos e etc. Estas informações estarão disponiveis na forma de posts.
O texto sobre o post vai assinalar o assunto que o mesmo está tratando. Esta idenficação vai auxiliar a pesquisa.
COMO PESQUISAR:
COMO PUBLICAR O COMENTÁRIO:
Para fazer um comentário sobre o post basta clicar no link conforme mostra a primeira imagem.
Matemáticos Famosos
PITÁGORAS
Do seu interesse pela Matemática resultaram alguns avanços para a Aritmética e a Geometria (nomeadamente, o conhecido Teorema de Pitágoras). Natural de Samos, na Ásia Menor, onde terá nascido nos finais do século VI (580) a. C., emigrou para Crotona, colónia grega no sul da Itália, e aí fundou uma escola com preocupações socio-políticas,
cuja influência acabou por dominar a cidade. No interior da escola vigorava uma regra de sigilo que considerava como crime a divulgação dos ensinamentos aos não iniciados.
Do interesse pela matemática resultaram alguns avanços científicos, sobretudo nas áreas da geometria e da aritmética (dos quais o Teorema de Pitágoras será o mais famoso).Apesar de a intervenção política de Pitágoras em Crotona ter sido de curta duração - os habitantes cedo se rebelaram contra o governo que instaurara -, a escola que fundou acabou por florescer e já na altura da sua morte, que deverá ter ocorrido próximo do ano de 480 a. C., se encontravam comunidades pitagóricas espalhadas por toda a Grécia, difundindo e aprofundando o pensamento do mestre, tendo contribuído dessa forma para que durante vários séculos ele fosse fonte de inspiração para muitos dos grandes nomes da filosofia.
EUCLIDES
Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.) foi um professor, matemático platónico e escritor de origem desconhecida, criador da famosa geometria euclidiana: o espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica, que se manteve incólume no pensamento matemático medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser construídos modelos de geometrias não-euclidianas. Teria sido educado em Atenas e frequentado a Academia de Platão, em pleno florescimento da cultura helenística.
Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de professores da recém-fundada Academia, que tornaria Alexandria no centro do saber da época, tornou-se o mais importante autor de matemática da Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos, com seu monumental Stoichia (Os elementos, 300 a.C.), no estilo livro de texto, uma obra em treze volumes, sendo cinco sobre geometria plana, três sobre números, um sobre a teoria das proporções, um sobre incomensuráveis e os três últimos sobre geometria no espaço. Pela sua maneira de expor nos escritos deduz-se que tenha sido um habilíssimo professor.
(Adaptação: Wikipédia)
Do seu interesse pela Matemática resultaram alguns avanços para a Aritmética e a Geometria (nomeadamente, o conhecido Teorema de Pitágoras). Natural de Samos, na Ásia Menor, onde terá nascido nos finais do século VI (580) a. C., emigrou para Crotona, colónia grega no sul da Itália, e aí fundou uma escola com preocupações socio-políticas,
cuja influência acabou por dominar a cidade. No interior da escola vigorava uma regra de sigilo que considerava como crime a divulgação dos ensinamentos aos não iniciados.
Do interesse pela matemática resultaram alguns avanços científicos, sobretudo nas áreas da geometria e da aritmética (dos quais o Teorema de Pitágoras será o mais famoso).Apesar de a intervenção política de Pitágoras em Crotona ter sido de curta duração - os habitantes cedo se rebelaram contra o governo que instaurara -, a escola que fundou acabou por florescer e já na altura da sua morte, que deverá ter ocorrido próximo do ano de 480 a. C., se encontravam comunidades pitagóricas espalhadas por toda a Grécia, difundindo e aprofundando o pensamento do mestre, tendo contribuído dessa forma para que durante vários séculos ele fosse fonte de inspiração para muitos dos grandes nomes da filosofia.
EUCLIDES
Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.) foi um professor, matemático platónico e escritor de origem desconhecida, criador da famosa geometria euclidiana: o espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica, que se manteve incólume no pensamento matemático medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser construídos modelos de geometrias não-euclidianas. Teria sido educado em Atenas e frequentado a Academia de Platão, em pleno florescimento da cultura helenística.
Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de professores da recém-fundada Academia, que tornaria Alexandria no centro do saber da época, tornou-se o mais importante autor de matemática da Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos, com seu monumental Stoichia (Os elementos, 300 a.C.), no estilo livro de texto, uma obra em treze volumes, sendo cinco sobre geometria plana, três sobre números, um sobre a teoria das proporções, um sobre incomensuráveis e os três últimos sobre geometria no espaço. Pela sua maneira de expor nos escritos deduz-se que tenha sido um habilíssimo professor.
(Adaptação: Wikipédia)
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